2級土木施工管理技士 過去問
令和6年度（後期）
問4 (土木 問4)

3a／2は、下の長方形だけを考えたときの図心の高さではありません。
図を整理すると、

・下の長方形（幅4a、高さ2a）は、x軸からa〜3aの位置にあります。
　→この長方形の図心の高さは
　　a＋2a／2＝a＋a＝2a

・上の細い長方形（幅a、高さ4a）は、x軸から3a〜7aの位置にあります。
　→この長方形の図心の高さは
　　3a＋4a／2＝3a＋2a＝5a

これら2つを合わせて全体の図心を求めるので、単純に3a／2にはなりません。

よって誤りです。

これは、下の長方形だけの図心の高さです。
先ほど計算したとおり、下の長方形（幅4a、高さ2a）の図心はx軸から2aの位置にあります。

しかし実際には、その上に細い長方形（幅a、高さ4a）が重なっています。

上の部分にも面積があるので、全体の図心は2aよりも上に移動します。

したがって、h＝2aでは足りません。

5a／2は2.5aなので、2aと3aの間の高さです。
ここで、全体の図心の高さhを正しく計算してみます。

・下の長方形
　面積A₁＝4a×2a＝8a²
　図心高さy₁＝2a

・上の長方形
　面積A₂＝a×4a＝4a²
　図心高さy₂＝5a

・全体の面積
　A＝A₁＋A₂＝8a²＋4a²＝12a²

・全体の図心の高さh
　h＝(A₁y₁＋A₂y₂)／A
　＝(8a²×2a＋4a²×5a)／12a²
　＝(16a³＋20a³)／12a²
　＝36a³／12a²
　＝3a

このように計算すると、5a／2ではなく3aになります。

したがって誤りです。

これが正しい式です。
先ほどの計算のとおり、

・下の長方形：面積8a²、図心高さ2a
・上の長方形：面積4a²、図心高さ5a

を使って合成すると、

h＝(8a²×2a＋4a²×5a)／(8a²＋4a²)
　＝36a³／12a²
　＝3a

となります。
図形全体の図心Gは、x軸から3aの高さの位置にあることになります。